為什麼數學不好? 了解國高中數學的變化與學習困難點

數學是許多學生的惡夢，很多人在學習中都遭遇過挫折，到底是什麼原因讓數學那麼難呢? 這篇文章將帶你揭開數學困難的面紗，藉由了解數學的特色，改善數學成績。在討論前，先說明兩個前提：

• 學習方式需要因人調整：每個人的學習方法、讀書習慣、困境遭遇點都不同，我們只能廣泛性的說明問題，實際應用時需要根據個人狀況調整。
• 階段不同、方法不同：在求學不同的時期，數學的學習目標並不相同：小學要求運算能力、中學要求簡易抽象化與應用能力、高中要求抽象理解與統合能力、大學以後則需要純粹的抽象化與邏輯推論能力，雖然都是數學，但是不同階段面臨的困難與目標並不一樣，自然需要不同的學習技巧，也因此國中數學好壞，並不能代表未來學習數學的表現。

  除此之外，如果只會沿用以前的學習方式，新的階段時很容易就不適應。你需要隨時調整學習的心態與方向。例如：國小依靠大量練習來維持數學成績，到國中這個方法的效率驟減，高中只靠練習題幾乎沒有幫助。

這篇文章聚焦在如何有效的學習數學，不只是單純地要求學生提升練習量，而是假設學生有心要學習、並且練習量充足的條件下，如何更深入且更有效率的面對數學。

1. 不習慣符號化的思維習慣：
國小升上國中時，數學開始使用『代數』這種抽象概念，對學生來說，是一個很大的改變，以前可以確切表示的數字，忽然離開了現實的生活，變成了純粹的符號。這個變化也正是國中生學習數學最先面臨到的障礙，不少國一學生就是不懂 “X” 到底是什麼，因此學的一頭霧水。甚至影響到未來學習數學的信心。

其實，學生是被大量瞬間出現的代數搞混了，如果習慣從題目開始學習，沒有先把代數的性質理解清楚，很容易導致在題目當中看到 “X” 時就混亂了，學生不明白為甚麼一下子 X=1 一下子 X=5。終歸到底，學生的困難在於，不理解代數表達的是『未知』，只是用來處裡還不知道的概念。所以，在學習數學前，優先理解數學符號化的本意，才有辦法把後續包含大量符號化觀念的課程學好。

2. 缺乏抽象歸納與類推習慣：
代數與符號化是學習最基本的理解，當學生能夠認清代數的意義以後，才算具備基本抽象化思考的能力。接下來將會面臨的門檻是：從題目歸納核心邏輯的技巧，以及類推一個觀念到其他題目上使用的習慣，如果缺乏這兩種能力，就會發生花費大量時間練習同一類型的題目，雖然好像很用功，但數學成績卻沒有起色的狀況。這是因為，數學只靠練習題目是不夠的，題型百百種，根本不可能練習完所有的題型，靠練習頂多掌握基礎題型的分數而已，進階變化題根本掌握不完。

跨越這個門檻，就可以脫離只靠練習題學數學的窘境，學會了解題型架構，掌握了核心的邏輯來面對其他題型。運用這種方法，只需要少量的練習，就可以利用找出的邏輯來解決不同變化的題目。

這種歸納類推能力需要練習，接觸到相同的邏輯時，要試著把邏輯剝離原本的事物，變成一個通用性的法則，之後依據這個法則應用於其他事物。其實這樣的思考方式不只適用於學數學，生活上有許多事情都可以用這個方法掌握。這也是為甚麼有些人學習東西特別快的原因，因為他沿用了其他領域的經驗，把原本領域的經驗抽象歸納成基本邏輯，一旦遇到類似的事情時就可以套用，自然很快就會上手。這裡舉個簡單的數學題目，來說明對題目做到提出核心邏輯：

假設有一個農場，雞的數目是鴨的四倍，豬比鴨少九隻。鴨和豬的數目是六十七隻。請問農場所有動物的腳加起來共多少隻？

這是一個很經典的農場問題，解法非常簡單，只需要讓 “鴨=X” 就可以快速解出答案：
鴨=X 雞=4X 豬=X-9 且(X)+(X-9) = 67 則X=38 …

但是我們可以進一步去思考題目的變化，以抽出代數考題的核心邏輯。試想如果把 “鴨=X”，換成 “雞=X”會發生什麼事情呢?這時候：
鴨=X/4 雞=X 豬=(X/4)-9 且(X/4)+(X/4-9) = 67 …

算式一樣可以計算，但是難度卻提高不少，與前面的方法相比，更容易造成運算錯誤。這說明了代數題目的一個特點，選對未知數對於計算會有很大的幫助。在不知道該怎麼選的時候應該多嘗試用不同的代數。

再來，我們還可以用多個代數表示這個問題：
鴨=X 雞=Y 豬=Z Y=4X Z=X-9 X+Z=67

依然可以求解，只是又更複雜了，而這個經驗說明代數問題的另一個現象：如果條件允許，盡可能地減少代數數量，對於計算很有幫助。

實際上每個題目都可以做這樣的延伸技巧，針對不同的題目做這種思想演練，很快就會發現題目其實只是在一些基本原則上做變化而已，本質上要考的內容都是類似的。例如：圖形題總是在邊長、面積、角度、相似性上做變化；代數題關鍵是簡化運算、找出適合當代數的目標…等等。掌握這些題型的原理才是練習題目最重要的，如果不動腦筋的只是大量練習，很快就會在數學上面臨挫敗感。

掌握考題重點，是事半功倍的學習技巧

3.缺乏統整經驗：
如果解決了上述的兩個問題，並且輔以足夠的練習量，數學成績就不會差了，但是離頂尖還有一步之遙，那就是非常困難的變化題，常常會想不到解法。這需要藉由調整數學各單元的整合能力，來強化對難題的處理能力。

數學是一個有完整系統的學科，擁有非常強的連貫性，以前學過的東西在未來章節會不斷出現，例如：線性代數的觀念會應用於座標圖型、幾何學用於空間…等等。不過在教學時必須把數學切割成多個學習環節，可也正是這樣的方法讓學生容易產生盲點，以為解圖型時不會用到代數、解代數時不會需要畫圖…等等，缺少整合性的觀念，就會在遇到跨章節的整合題目時找不到解法。

因此，建議學生可以把過往學過的公式與定理重新整理，試著將整個數學觀念融會貫通，一旦遇到不知道怎麼解決的題目時，只需要把曾經學習過的東西都條列出來，幾乎都可以在其中找到需要的公式與想法，例如：題目有三角形時就可以列出畢氏定理、相似性、中點、重心、外接圓…等等，透過把學習過的觀念打散重新組裝，讓數學觀念一氣呵成，是晉升頂尖很好的方式。

4.定勢效應的影響：
最後來討論一個在考試時，特別常見的問題，很多考生在考試當下解不出來的題目，一離開考場反而就想到解法了。其實這種狀況在心理學有相當多的研究，最著名的理論為『定勢效應』。

定勢效應指的是大腦傾向採用熟悉的方法來解決問題，並頑固的忽視其他方法，甚至是更好的方法。在1942年的一項經典實驗中，美國心理學家路琴（Abraham Luchins）要求受試者做了一個假想實驗，實驗的邏輯大致如下：

請大家假想自己需要用倒水的方式來解決簡單的數學問題。首先，你手上有三個水杯，容量分別為21、127、3，請試著倒出100單位的容量，條件是每次盛裝或倒出的水量都必須是這三個容器的容量之一，不能任意倒，而操作次數並沒有限制。

這個問題並不困難，只需要如下操作：
先裝滿127的水杯，倒給21一次、接著倒給3兩次，這樣就得到100單位的水了

那麼現在請大家接著思考以下這幾個數字：
題目：23、70、7目標是40 下一題：93、44、3目標是40 最後一題23、49、3目標是20。

有趣的問題來了，請問各位的最後一題是怎麼解決的? 實驗證明多數的人採用的方法如下：49-23=26，26在倒兩次3得到20，看起來很合理，可是最後一題其實只需要用23倒掉3就夠了，根本不用經過中間的49單位。

這項水杯實驗是『定勢效應』（Einstellung effect）的相關研究中，最為人所知的實驗之一。這個效應指出人們在解決問題時傾向採用熟悉的方法，通常是最先想到的方法，而且這個方法會一直盤踞心中，並使人忽視其他可能的方法。

延伸資料：定勢效應 – 維基百科

考試時學生也很容易受到定勢效應的影響，由於第一印象想要用的方法失敗了，導致想法卡住而沒辦法抽離，在考試當中由於有時間壓力，讓人更難以跳脫思維。對於考試來說，最好的方法是一旦被某個題目困住了，就往下繼續做，不要花時間在題目上糾結，因為定勢效應已經讓思維固定了，花更多時間也不一定能夠找出好的解法，反而會浪費考試時間，增加考試壓力，不如先做別的題目轉換思路，顯得更有機會解決問題。

這篇文章總結了國中數學容易遇到的困難，由基本問題到進階的困境，正確理解並實踐絕對可以改善學生數學的學習效率。希望大家都可以逐步克服學習數學的障礙，保持積極與自信的學習態度。